Equações não-lineares e o Caos

Conforme se viu no artigo acima citado, o meteorologista Lorenz verificou que certas imprecisões não eram causadas pela imprecisão nos cálculos ou na teoria, mas nas próprias resoluções das equações não-lineares. Lembramos que as simplificações - do ponto de vista estritamente teórico - podem levar as formulações não exatas. Mas elas têm o seu valor, se pensarmos em termos didáticos. Vamos a um exemplo: Imagine a seguinte fórmula: ax2 + bx + c = 0. Se a, b e c são constantes, a sua solução já é conhecida, ou seja, ela possui duas soluções válidas:

 x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a 

x 2 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

Mas, se a, b e c fossem funções do tempo, para cada instante poderiam ser determinados outros valores de a, b e c e resolvido nas equações acima. Isso é uma equação não-linear. Sua solução não poderia ser expressa por uma nova função no tempo:

 x 1 = - b t + b t 2 - 4 a t c t 2 a t

 x 2 = - b t + b t 2 - 4 a t c t 2 a t

Vamos supor que a equação acima represente, por exemplo, a quantidade de chuva que se precipitará em um certo lugar em função do tempo.

 E que a parcela a(t) seja a influência da pressão e vento, a parcela b(t) seja a influência da umidade relativa do ar e a parcela c(t) a da temperatura.

 Ora, sempre que esta equação for resolvida para 10 dias, o resultado será o mesmo. Vamos supor que 50 mm de chuva. Até aqui tudo normal e "previsível". 

Mas nós sabemos que não chove 50 mm a cada 10 dias em nenhum lugar do mundo. O que deve ser mudado então nesse raciocínio? Resposta: as condições iniciais. 

Ou seja, imagine que se queira a previsão do tempo para daqui a 10 dias. Colocam-se as condições de pressão e vento, umidade do ar e temperatura de hoje e obtém-se o resultado. Os resultados com as equações não lineares provaram ser muito melhores, em termos de modelo, do que os lineares.

Caos

O que é então o caos? O que Lorenz descobriu é que se, em vez de colocar, por exemplo, a temperatura de hoje de 15° C ele colocasse 15,000000001° C as diferenças nos resultados seriam imensas, podendo ir de 50 mm para 5 mm, e que se fosse de 15,000000002° C o resultado poderia ser 70 mm. 

Veja que isso não tem nada a ver com a precisão dos cálculos ou da formulação.

 É uma característica deste tipo de equação (não-linear). Essa instabilidade nas equações-não lineares é chamada de caos. 

Note-se também que, no exemplo acima, as divergências aparecem para resultados cada vez mais distantes das condições iniciais